微信朋友圈昵称为“东野叔叔”的朋友问到了这样一个问题:正三棱锥的内外心的位置相同吗?(注:他问的应该是外接球和内切球球心是否重合?)
要回答这个问题,先要了解什么是正三棱锥.
1
正三棱锥
请看正三棱锥的定义.
1.底面是正三角形
2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.
满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.
由以上定义可知,正三棱锥底面为正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形.
要防止和另外一个概念—-正四面体混淆.
正四面体的要求比正三棱锥更要.
每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.也可以这样说,正四面体是特殊的正三棱锥,正三棱锥具备的性质正四面体都有,而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.
2
确定二心的位置
下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.
在《》中,谈到了一种方法,就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中,从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.
这是处理问题的方法之一.
今天说说第二种方法,就是利用球的定义确定球心.
基本的规律可小结如下:
正棱锥的外接球球心在其高上正三棱锥,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
我们利用第这结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.
3
实栗说明外接球球心
举一个具体栗子来说明.
外接球球心分析:在正三棱锥的高线上,先假设一个位置,然后构造直角三角形正三棱锥,利用勾股定理求解.
从图看出,此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.
4
实栗说明内切球球心
再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知,内切球球心也在高线PO上.
下面利用等体积法(即算两次体积)求内切球的半径.
5
二心何时重合?
回到这位朋友的问题上来,外接球球心和内切球球心重合吗?
显然,多数情况下是不重合的.
有童鞋可能会问,有没有重合的时候呢?
为了回答这个问题,我们作一般化的推导.
若底边长刚好等于侧棱长,即正三棱锥变为正四面体时,奇迹发生了.
画出图来是这样滴.
此时,两心重合于一点,且该点把三棱锥的高分为3:1,长的那段为外接球半径,短的那一段为内切球半径.
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