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文/卢声怡
这是2021年为您写的第41篇原创千字文
3100字，预计阅读8分钟
如果说要把有余数的除法的算式写法，例如11÷4＝2…3，改成“11÷4＝2余3”，也就是把算式中的省略号，改成直接写“余”字，你赞成吗？
这是我一直在思考，最近在实践的一个教研专题“有余数的除法”中的一个细节。许多老师、家长、学生没有意识到，这种记法其实是值得商榷的。
伍鸿熙教授在《数学家讲解小学数学》一书（以下不特别说明的引文都来自于这本书）中说得非常干脆：
这些缺点的出现是数学界与教育界长期分离导致的不可避免的结果。例如，像“27÷6＝4…3”这样荒谬的东西，早应该在几十年前就能被有能力的数学家纠正了。（前言）
一、《有余数的除法》例1值得深入研究
有余数除法，是小学数学中非常有意思的一个例子，特别值得专门研究。
P85：7.2带余除法
带余除法对于理解自然数以及高等数学中与自然数类似的数学结构是很重要的课题。特别的，带余除法是建立长除法概念的基础。
上周五我组织的全区二年级期中教研活动，安排鼓二小的滕晶老师上了这节课。本课磨课过程中一些处理方式，明显引发了老师们的好奇与思考。
人教版的本节连续有三个例题：¹例题1是初步认识有余数的除法与横式；²例题2是发现余数要比除数小；³例题3为主教学的是有余数除法的竖式写法。一般情况下，老师们是把例题1、2合在一起教的。
本学期有位老师问我，她要开这节课，问“我能不能够例1不上，直接只上例2？”
熟悉教材的人只要一听这种说法，就知道她是担心课堂时间来不及，想把整课40分钟全用在例2上。
我当时回答她说：“那我更好奇的是，你例1是怎么单独上一整节课的？你能不能把这课展示给我看看？”
这正如一个故事：
买一块肉。肉铺老板说要100元。然后顾客说不要这么多。老板就切掉一半，说剩下的80元。
我们此时怎么办呢？
应当指着那切掉的一半，说“那我还是要这部分吧，给你20元。”
（一个老段子）
其实这样的安排，是因为老师们往往觉得例1“没什么好教的”，或者说“不重要”。真的是这样吗？
可以说，例1非常重要，甚至比例2还重要，重要性之一就体现在老师们往往觉得例2重要而没有感觉到例1重要。（是不是有点拗口：）
二、有余数的除法，自然状态下有哪些记法？
听“有余数的除法”这课时，有一个观察指标，如果班上有孩子把它叫作“带余除法”，那么一定是在课外上过培训班的。“带余除法”正是数学体系中对“有余数的除法”的称呼。
但是对于一个没有学过的孩子来说，他对有余数除法的认识应当只是操作性的，只是感知了“平均分的时候，不一定正好，有时有剩”。这正是例1要做的事。
人教版的例1就是请学生操作：把6个草莓与7个草莓，每2个摆一盘，能摆几盘？
（看，有余数的除法算式已经都写出来了）
之前在学习平均分的时候，孩子学会了用圈一圈的方法来表示，那么，此时如果你让学生“把你摆的结果记下来”，你就会发现，孩子们的记法其实不一定是算式。
有的孩子会画图，用小圈圈代表草莓，用大圈圈代表盘子。具体来说，分为三类：¹每2个草莓一份，没有画大圈；²每2个一大圈，但余下的1没圈；³有大圈且余下的1也圈了。
有的孩子会写算式，此时，受之前学的除法算式影响，往往也会写出一个类似于除法的算式。此时的观察点就是他们对“剩下1个”怎么记？
只要你的孩子是原生态的，就会出现不同的记法，有写成“7÷2＝3＋1”的，有写成“7÷2＝3剩下1”的，当然也有的学生只写了“7÷2＝3”，把那个1扔得老远。我前段时间还听到一个蛮妙的记法，就是把剩下的1记在被除数7的下面。
此时，我们来看看人教版实验中的《生本学材》的这个例题是如何编写的，就显得很有意思了。
（有余数除法怎么记呢？大家来试试）
大家发现了吗？明显这份材料上，就是让孩子们用自己的方法去表示和记录有余数的除法。
特别提醒你：材料上还说“有余数的除法还可以用乘加算式表示”。
为什么舍弃掉了原来的省略号的记法？
我来谈谈我的理解：省略号本身不是一个运算符号。可以这么说，它本身并不比任何一个汉字，例如“余”“剩下”高明多少，它就只是一个不带数学含义的字符而已。
在小学生所学的范围内，运算符号为主就只有四个：＋－×÷，很明确。括号属于改变运算顺序的符号，而等号则是表征数值相等的符号。很明显，省略号不是运算符号。
许多疑难解析文章中，往往会举出这样的例子：虽然7÷3＝2…1，5÷2＝2…1，但明显7÷3与5÷2是不相等的，这样的例子都说明了当前教材中的“有余数的除法”的算式，不是规范的数学等式。
另外，“卢说数学”不想人云亦云，让我尝试举出一对本应相等而最后却“看来不相等”的除法式余数定理，比如7÷3，14÷6。大家知道按“商不变性质”它们只是被除数与除数同时乘除了相同的数，结果应当是相等的，但如果看有余数的除法算式：7÷3＝2…1，14÷6＝2…2，却让人觉得不相等了。
所以，不要把这个省略号看得太重，它只是在一个历史阶段中被我们选用。随着认识深入，我们将来某天，也会抛弃它，至少现在，就让我们尝试尝试不同的记法。
我在本区的二年级数学老师中组织了关于这个问题的投票，大家可以看看结果：
问：人教版在实验的《生本学材》中，把有余数的除法算式的余数的记法从省略号改成汉字“余”，你对这种做法有什么看法？
选项：赞成，我能理解新的记法中的数学道理。34.4%
选项：都可以。用汉字没必要，想保持原来的。53.1%
选项：不赞成。原来的记法好，汉字这种没道理。11.5%
选“教材怎么编就怎么上的”1位老师属于误按，投出之后赶紧私信跟我说明了；
选“想改其他记法”的老师一位也没有。
你如果投票，会选哪个呢？请留言。
其实，有余数除法更适合的记法是：7＝2×3＋1。这种记法甚至是许多关于有余数除法的竞赛题的“解题秘诀”。有兴趣的我们另外聊。
三、让我们思考，让我们记录，让我们交流
跟您分享伍鸿熙教授的一些观点与三点总结：
定理7.1 任意给定自然数a和d，其中d＞0，则存在唯一的自然数q和r，使得
a＝qd＋r且0≤r＜d
这个定理通常称为带余除法定理。（脚注：在高等数学中，这个定理（不幸地）被称为“除法运算法则”。
上一节中定义的两个自然数除法的计算结果是一个单独的数（即除法所得的商）。…但带余除法得到的不是一个数，而是两个数：商和余数。因此，带余除法与除法在本质上是不相同的。
有时，我们通常会滥用词汇，称q为a除以d余数为r时的商。但是只有清楚地知道带余除法与除法的区别时，才允许这样使用。
带余除法不是之前定义的除法。
应当把目前的这种记法清除出所有的教科书。
要非常强调带余除法以及带余除法的商和余数的准确概念。
最后谈谈这样的讨论的价值。也因为前天“卢说数学”发的引发了相当多的留言，我喜欢这样的研究氛围。
许多优秀的老师，每天记录自己的课堂教学。我是在一线教学的最后七八年，才发现和坚持这个做法——每天写教学日志。
当时我在新思考成长博客平台上注册了一个博客，叫做“剑气合一的蔬菜园子”，可惜这个平台现在已经关闭了。互联网的应用更新换代非常快，从记录工具为主，变成社交应用满天下，有时回头想想，也不过就是几年的事。
这个名称的后半段取自我的QQ名，而前半段则来自于王崧舟老师记录他个人成长的一篇好文章，我很喜欢，甚至还记得篇名《剑气合一，在语文家园安身立命》。
当我担任教研工作以后余数定理，教学日志当然只能停止。但近来想想，及时记录教研活动，也是非常有价值和有意思的。
相信无论是一线的老师，也包括家长，对于教与学中的思考研究，也是很想了解，想一起做的。
你是其中一个吗？欢迎你的点赞、在看与转发。
（卢声怡，2021年5月17日）
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