余数定理-除法对加法的分配律的证明

除法对加法的分配律的证明：

根据除法是乘是的逆运算的定义。

（a+b）÷c = a÷c+b÷c.

在这个等式中，设右端两个除法所得的商分别为x,y,即x=a÷c,y=b÷c

根所除法定义，则有：a=c*x b=c*y

a+b=c*x+c*y=c*(x+y) 根据除法定义得 (a+b) ÷c=x+y

再把x,y还源为除式，代回上式得（a+b）÷c=a÷c+b÷c 。

当除不尽时余数定理，在这个等式中，设右端两个除法所得的商分别为x,y,余数定理，余数分别是d,e。

根所除法余数定理，则有：a÷c=x…d （1）

b÷c=y…e （2）

（1）+(2) 得 a÷c+b÷c=x+y…d+e (3)

a=c*x+d （4）

b=c*y+e (5)

(4)+(5) 得a+b=c*x+d+c*y+e=c*(x+y)+(d+e)

恢复为余式， (a+b) ÷c=x+y…(d+e) （6）

（3），（6）两式右端是同一个式子，所以左端相等

（a+b）÷c=a÷c+b÷c 。

a÷b如何使用分配律？

通过0拆项。把0拆成两个可被b除尽的同一个数之差。

a÷b=(a+c*b-c*b) ÷b=[c*b+(a-c*b)] ÷b=c*b÷b+(a-c*b) ÷b

设a-c*b=d 则d

当d为0，就除尽了。

当0

当然d>b就继续除之，又可得另一个商。如此继续下去，一定可能使余数小于除数，可余数为0。结束除法。

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